前几周，我针对一篇题为《Unsupervised Learning by Predicting Noise》的论文写了自己的解读和看法。在文章中，我提到了解读这一方法的另一个角度——信息最大化，即寻找有限熵数据的非线性表征，同时最大限度地保留输入的信息。

　　在那篇文章中，我简单地提了一下“Exemplar-CNNs”的方法。这一方法也能被理解为“卷积神经网络范例”。我是从下面这篇论文中了解到这样的解决方法的：

　　在此之前我从没见过“范例”与“卷积神经网络”的组合，所以我认为这可能是论文所做的的“首创”。

　　本文对“范例卷积神经网络”的训练方法仅作了简单简单的概述，所以如果想要获得更多、更真实的信息，请阅读论文原文。

　　本文简要介绍了“变分信息最大化”，并将其运用到了“范例卷积神经网络”的案例中。

　　我们在案例中只使用了一个数量适中的训练图像集，“范例卷积神经网络”恰恰利用了这一点，把数据分布表示为一个经验分布（离散有限可能性的分布）。

　　假设我们离散了分布，使之变得不连续，那么“范例卷积神经网络”就能够被推导成为“种子图像”和其表征之间的互信息的一个下界。

　　在前面提到的论文中，Dosovistkiy等人采用的方法其实很简单。从一个未经标记的数据库中取出适量有趣的图像，把这些图像称为“种子图像”或者是“范例”。你需要对每一个图像进行各种各样的转换，你可以更改“种子图像”的颜色，或者把它旋转至不同的方向。而这些转换后的图像集合就是一个“代理图像集”。下图就是对一只鹿的“种子图像”进行各种转换之后得到的图像集：

　　每一张范例图像都需要经过转换，形成一个“代理图像集”。所以，你有多少张“种子图像”，就会有多少个“代理图像集”。完成以后，你就能开始一个卷积网络的训练了。你需要让它通过一张转换后的图像，推测其“种子图像”的各项指数。所以，如果你有8000个“种子图像”，你就要解决8000个图像分类的问题。那么相应地，你的卷积网络也就具备了8000维度的分类功能。

　　当然了，“种子图像”数量越多，网络训练的难度就越大，到最后网络掌握的分类功能的维度也就越高。论文的作者们表示，8000个“种子图像”尚在网络分类功能可处理的范围以内，而且这8000个图像的训练就已足够让我们达到比较理想的效果了。

　　下面我想补充的是——我们在“范例卷积神经网络”中建立的“马尔科夫链”的图像模型视图。

　　“信息最大化”可以依据信息测量变量的不同，采取不同的方式来进行表征学习。为了进一步了解“范例卷积神经网络”，我们的角度来看下图的“马尔科夫链”：

　　上图中的X表示“种子图像”，Tαx表示转换后的图像（随机抽样变换参数α），Z=g(Tαx；Θ)表示采用了随机图像并计算了其表征的一个映射。所以，从Tαx到的Z箭头事实上是一个确定性映射。

　　如果我们把z看作是x的表征，那么实现“互信息”║[X,Z]的最大化就是有意义的。这个“互信息”有一个下界，这个下界就是标准的“变分下限”。

　　“范例卷积神经网络”的特别之处就在于，它利用了“分布Px其实就是N观测值的一个经验分布”这一事实。这是当我们推导一个损失函数时，通常被我们否定的一种情况，只有在最后才能代替经验分布，构造一个无偏估计值。这里，我们非常大程度上是依靠这样一个事实——我们只有N观测值，而且N与数据维度D相比较小。用N来模拟离散分布，比模拟图像分布要简单得多。

　　如果我们有N的“种子图像”Xn，那么我们就可以勉强用X来表示下面的经验分布：

　　假如Z的分布被稍稍地离散了，那么赋予Z的情境也会被离散，只是离散的比例不同。

　　因此，在这种情况下，一个仅根据不同比例离散分布的变分集合Q就变得很必要了：

　　(Z,W)灵活地任意变化，变分集合Q就能意识到其后部内容，而我们对“互信息”的限制就会比较严格。使用上面对qΘ的定义，我们大家可以把下界表达为：

　　从x能够获得其表征z，使用其中的原理，我们大家可以依据转换参数α的期望值，写出以下表达式：

　　表达式左边的部分看上去很像是“范例卷积神经网络”学习的“N式”分类问题：我们大家可以把其中的πn看作是“N式”的分类器，这个分类器需要一张任意转换过的图像，然后估测出“代理集合”n。上面的方程式事实上是这个分类器的“损失函数”。

　　为获得真正的“范例卷积神经网络”方程式，我们应该做的最后一件事是进一步限制Q。因此，我们只可以让离散比例π符合以下的逻辑回归式：

　　如果我们把这些值重新代入之前得出的方程式，那么我们就会得到论文中提到的“多项损失函数”（与论文中的方程式5相对比）：

　　因此，我们已证明了“范例卷积神经网络”来优化的目标函数，其实就是限制“种子图像”和转换后图像的表征g(Tαx)间的“互信息”的一个下界。

　　“互信息”的下界限制其实可能并不那么的严格，因为π(z,Θ)仅受限于线性分类器。但是如果我们决心严格限制互信息，那么这个下界是完全可能更加严格的。确实，如果我们不考虑最后一层g，而是把一些中间的隐藏层视作表征，把上面的一些层视作是q的一部分，那么这个所谓的下界限制就仍然是有效的，而且中间层的限制就会更严格。

　　那些非宽松的界限并不一定就是故障所在，相反，它可能还是一个特色。仅考虑q的逻辑回归模型，其实就是一个比信息优化更严格的目标函数。就像我之前经常提到的，“互信息”本身对表征的可逆再参量化并不敏感，因此它不能自己找到已还原了的表征。所以，仅考虑下界的问题可能更适用于这个案例。你不仅需要用z来保留关于x的信息，还需要一个线性可辨性的格式，如果你之后想要把表征用于线性分类器的话，那么这个线性可辨性就是一个相当有用的属性。

　　最后，一个这样的问题出现了——到底什么样的函数或映射应该被用作表征呢？关于这一个问题，你有三个选项：

　　作者是把g(x,Θ)的层用作表征本身的。这在我看来是有些难以理解的，因为这个函数从未经过一个真实图像补丁的训练，它只受过转换过的图像补丁Tαx的训练。我认为作者这一做法的原因是，尽管受到种子补丁的训练较少，但是这个函数已经经过大量转换过的图像的训练，所以它是完全有能力成为表征的。作者还提出，最后一层最终将会被训练得越来越不容易受转换图像的影响。

　　你可以使用一个随机表征g(Tαx,Θ)，但是过不久这个表征就会显得很累赘，不好处理。因为你必须每次都抽样检查α，对它做评估，并且整合α上面建立的所有表征。

　　最后，就像我在前面说的，你可以把g的中间层当作表征，而不是最后一层。你还是可以训练那些中间层，让他们实现信息最大化，事实上那些中间层的界限还更严格一些。其实作者也是这样做的：他们集合了各个层的特征，然后考虑了所有中间层之上的一个线性SVM。

　　“范例卷积神经网络”是“自监督学习”的一个绝佳例子。采用一个未经标记的数据库，并在此之上建立一个代理的监督式学习任务来帮助表征学习。像我在本文中说的，“范例卷积神经网络”还能被理解为——寻找一个信息最大化的表征。

　　相对简单的用于变分界限的变分分布可能是个非常有益的东西，而设立严格的界限可能反而会让事情变得更糟。谁知道呢？但是在这个框架内建立“范例卷积神经网络”，确实让我们更好地理解了其工作原理。